Axiome, Conjecture, Réciproque, Contraposée : ENFIN COMPRENDRE !

10 minutes pour comprendre la logique !

Un rappel des bases sur la contraposée, la réciproque, notamment utiles pour les exos avec Thalès et Pythagore :)

En cours de maths, vous vous rappelez peut-être de ces mots compliqués “théorème, réciproque, contraposée”, etc… Mais souvent, on vous demande d’utiliser ces mots au sein d’une rédaction “toute faite”, et on ne vous demande pas de les comprendre.

Pourtant, ça ne prend pas temps de temps que ça de les comprendre, ces mots et la logique qu’il y a derrière : alors on va le faire maintenant, sans forcément se baser uniquement sur des exemples de maths.

• lle but c’est de montrer qu’on peut comprendre facilement et rapidement des notions de logique : faut arrêter d’avoir peur des maths !

=== Définition ===

En maths, une définition, c’est un symbôle à qui on a associé un ensemble de caractéristiques mathématiques qui vont le … définir.

Quoi de mieux que 2 exemples rapides plutôt que des termes compliqués :

• Au lieu de parler d’un “quadrilatère régulier à quatre côtés, dont les quatre angles ont même mesure et dont les 4 côtés ont même longueur”, on va dire “carré” : on a défini le carré
• une définition, pour le commun des mortels qui pense d’abord à des exemples en dehors du monde des maths, c’est comme dans un dictionnaire : une définition c’est attribuer à un mot un ensemble de caractéristiques en utilisant les propriétés portées par d’autres mots.

Une définition n’est donc pas quelque chose que l’on peut prouver. C’est une décision arbitraire : c’est comme ça, et pis c’est tout et puis voilà.

=== Axiome ===

Un axiome non plus, on ne cherche pas à le démontrer, parce qu’on sait qu’on ne peut pas le démontrer. Bon d’accord, il faut déjà toucher un peu en maths pour poser un axiome, car ça revient à dire : j’ai une idée qui me paraît “logique”, je la pose comme base pour être utilisée dans d’autres raisonnements futurs et je suis sûr que personne ne peut démontrer cette idée.

• Pour un exemple hors des maths on peut prendre… l’existence de Dieu est un axiome : personne ne peut prouver l’existence ou l’absence de Dieu. Il y a juste une notion croyance ou non dans cette proposition. On peut considérer ou rejeter un axiome, mais on ne peut pas le démontrer : ça n’a pas de sens de dire qu’un axiome est vrai ou faux. 
  
  
• Le plus facile en maths, c’est de prendre pour exemple un des axiomes d’Euclide "Etant donné un segment de droite quelconque, un cercle peut être tracé en prenant ce segment comme rayon et l'une de ses extrémités comme centre":Au prealable Euclide a donne les definitions de droite, cercle, segment, parallele...

On sent que c’est vrai, mais personne ne peut démontrer ce résultat : Euclide dirait même “c’est tellement trivial qu’on n’a pas BESOIN de le démontrer”

[On aurait aussi pu prendre le 5e axiome d’Euclide, mais dans le genre “axiome = affirmation évidente qui ne peut pas être démontrée”, on a déjà vu mieux comme exemple… Mais on reviendra sur les millénaires d’arrachages de cheveux sur cet “axiome” dans une autre vidéo, car on va reparler plus tard de la géométrie non-euclidienne…].

=== Conjecture ===

La conjecture, c’est à peu près la même chose qu’un axiome, dans le sens où une conjecture est une proposition logique qu’on pense vraie.

La vraie différence entre conjecture et axiome, c’est que la conjecture, on sait, on sent qu’on doit pouvoir la démontrer. Et une conjecture gardera le nom de conjecture tant qu’on n’a pas posé la démonstration :

Par exemple, en maths, il y a la conjecture de Legendre : “entre n² et (n+1)² il y a toujours au moins un nombre premier”. Ca marche pour n=1, n=2, n=3… on sent que ça marche toujours mais personne ne l’a encore démontré formellement.

Hors des maths, on appellerait ça juste du bon sens : si on prend des oranges, et on va dire qu’elles sont de même rayons… et parfaitement rondes…

• “t’avais pas dit qu’on prenait un exemple hors des maths ?”
• “ouais bon, donc si tu prends des oranges parfaitement rondes de même rayon, alors le moyen le plus dense de les empiler, dans l’espace, c’est de faire une pyramide, comme on fait dans les rayons fruits & légumes.

Ce principe “de bon sens”, personne n’a réussi à le démontrer, pourtant ça paraît tout bête hein? Y a bien des simulations informatiques qui ont été faites, mais aucune formulation officielle propre “mathématique”...

Parmi les conjectures, certaines tiennent face aux assauts répétés des crayons des mathématiciens depuis 300 ans. Y a même un peu de hype et de buzz autour de certaines conjectures car elles pourraient aider à débloquer certains pans des maths.

Si vous n’en n’avez pas encore entendu parler, on reviendra dessus dans une autre vidéo c’est ce qu’on appelle “les prix du millénaire” : une chasse au trésor pour gros geeks des maths, avec un prix à la clef si vous arrivez à démontrer quelques conjectures

 

Ces conjectures résistent depuis 150ans pour certaines d’entre elles …

Au passage, pour les meilleurs d’entre vous qui pigez tout : les conjectures indécidables -- c’est comme ça qu’on dit quand on se rend compte qu’on ne peut pas les démontrer -- deviennent des axiomes :) (ben oui, puisque maintenant vous avez compris ce que c’est un axiome)

=== Théorème ===

Une fois qu’une conjecture est démontrée, elle devient une vérité mathématique démontrable et démontrée, c’est-à-dire … un théorème. Vous avez dû l’écrire 500 fois dans vos copies au collège quand vous parliez de Pythagore par exemple : ça, c’est un exemple de théorème, en maths. Le théorème de Pythagore, ça veut donc dire qu’il y a une proposition mathématiques vraie, formulée et démontrée vraie par Pythagore: si vous cherchez, vous trouverez la démonstration du théorème de Pythagore, même si on ne la montre pas en classe généralement.

En dehors des maths, on peut construire ses propres théorèmes : Tiens, on va le faire : “si on parle du drapeau français actuel, alors on parle d’un drapeau bleu-blanc-rouge” : ça, c’est un théorème.

C’est une proposition logique démontrable et on peut le démontrer : le drapeau français a été utilisé dans sa forme depuis 1794, et il apparaît dans la Constitution actuelle (de 1958) “Ce drapeau aux proportions « 2:3 » ( deux pour la hauteur, trois pour la longueur) est composé de trois bandes verticales de largeur égale bleu blanc rouge” : la constitution n’a pas changé, donc le drapeau est bleu blanc rouge.

Donc on a bien : “si on parle du drapeau français actuel, alors on parle d’un drapeau bleu-blanc-rouge”

=== Contraposée ===

Quand vous avez un théorème, vous avez forcément une contraposée : elle existe TOUJOURS. La contraposée permet de prouver la forme négative d’une implication.

Une implication, vous voyez ce que c’est, je n’ai pas besoin de l’expliquer ? Si → alors…

Si on part des théorèmes précédents, ça donne ça :

• pour notre théorème sur le drapeau franças, l’implication, c’est “si on parle du drapeau français actuel, alors on parle d’un drapeau bleu-blanc-rouge”. La contraposée du théorème c’est “si le drapeau dont on parle n’est pas bleu-blanc-rouge, alors on ne parle pas du drapeau français actuel”. Facile, non ?

• Ajoutons maintenant la couche de maths avec Pythagore on partait de : “Si un triangle est rectangle, alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des 2 autres côtés”. La contraposée c’est “Si le carré de l’hypoténuse n’est pas égal à la somme des carrés des 2 autres côtés, alors le triangle n’est pas rectangle”

=== Réciproque ===

Par rapport à un théorème (et son système d’implication), une réciproque essaye de faire un boulot proche de la contraposée, d’où les embrouilles dans la compréhension parfois, quand on nous sort les 2 termes, par exemple au collège. En effet, la réciproque et la contraposée font un “sens inverse” par rapport à l’implication de départ d’un théorème.

Sauf que la contraposée donne la forme négative, et est toujours vraie, alors que la réciproque essaye de donner la forme affirmative, et N’EST PAS TOUJOURS VRAIE.

Donc pourquoi pas reprendre nos exemples précédents ?

• Avec l’histoire des drapeaux, l’implication, c’est “si on parle du drapeau français actuel, alors on parle d’un drapeau bleu-blanc-rouge”. La réciproque serait : “Si on parle d’un drapeau bleu-blanc-rouge alors on parle du drapeau français actuel” : c’est faux, c’est pas parce qu’on parle d’un drapeau bleu-blanc-rouge qu’on ne parle pas du drapeau hollandais, ou croate ou américain ! donc ici, la réciproque est fausse !
• Avec son théorème, pythagore a eu du bol, parce qu’il marche dans les 2 sens, donc on le cite dans les 2 sens ! en effet, le théorème de Pythagore dit  “Si un triangle est rectangle, alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des 2 autres côtés”. La réciproque c’est “Si le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des 2 autres côtésn alors le triangle est rectangle”. Et ça c’est vrai, et ça se démontre aussi.

Pour les meilleurs d’entre vous, qui arrivez encore à suivre, en fait, vous aurez compris : la réciproque est elle-même un théorème !

Dans cet épisode, nous avons vu ensemble la définition de la défintion [oui, fallait le faire]

On a vu la différence entre un axiome (proposition logique indémontrable) et une conjecture (proposition logique démontrable non démontrée), et on a aussi vu ce qu’était un théorème (une conjecture démontrée, donc une implication logique démontrée), et la différence qui en découlait sur la présence obligatoire d’une contraposée au théorème (forme négative d’un théorème) mais pas forcément de sa réciproque (qui est une autre implication à part entière).

Voilà, c’est tout ! Cet épisode est à présent terminé. Vous l’avez apprécié, vous avez compris ces notions (y a pas de honte à regarder 2 fois pour être sûr de suivre)? Faites-le nous savoir, soit en utilisant vos pouces (enfin, ceux de Youtube), et le reste de vos doigts pour laisser un commentaire !

N’oubliez pas : ce qui est compris n’est plus à apprendre : la prochaine fois, je vous retrouve dans une vidéo plus académique où on va corriger des exercices sur le théorème de Pythagore qui utilisent la contraposée et la réciproque du théorème : c’est marrant, on dirait presque que la chaîne est organisée !